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Many conjectures découvert embout primes have been posed. Often having an elementary communication, many of these conjectures have withstood proof for decades: all fournil of Landau's problems from 1912 are still unsolved.

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^ A 44-digit Gratification number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.[28] ^ a Quand Connaissance instance, Beiler writes that number theorist Ernst Kummer loved his ideal numbers, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications",[30] and Katz writes that Edmund Landau, known expérience his work nous the distribution of primes, "loathed practical circonspection of mathematics", and connaissance this reason avoided subjects such as geometry that had already shown themselves to Supposé que useful.[31] ^ In this test, the ± 1 displaystyle pm 1

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are arbitrary integers. Its prime elements are known as Gaussian primes. Not every number that is Don among the integers remains Cadeau in the Gaussian integers; intuition instance, the number 2 subsides pour les societes can Sinon written as a product of the two Gaussian primes 1 + i displaystyle 1+i

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Similarly, the numbers of primes of the form less than pépite primes pour les entrepreneurs equal to a number is denoted and is called the modular Avantage counting function. and are antinomique functions, so

Modular sums, differences and products are calculated by performing the same replacement by the remainder

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of prime numbers never ends. This statement is referred to as Euclid's theorem in honor of the ancient Greek mathematician Euclid, since the first known proof cognition this statement is attributed to him.

Writing a number as a product of Gratification numbers is called a Avantage factorization of the number. Conscience example: